Teleco Toolbox | Unidades logarítmicas

¡Hola! Aquí traigo algunas herramientas fundamentales para sobrevivir a una carrera de teleco. Intentaré hacer las explicaciones lo más interesantes y entendibles posible, para alguien con -3 neuronas como un servidor. ¡Que aproveche!

Ok. Unidades logarítmicas. Me voy a explayar un poco en explicarlo, por lo que quiera revisar las fórmulas dejaré lo fundamental como chuletario al final.

¿De qué va esto?

El quid de la cuestión principal es que es un tipo de unidades que presentan una relación no lineal con el espacio de números naturales. Es decir: la relación entre un número en unidades naturales y un número en logarítmicas no sigue una linea recta, si no que hace una exponencial.

¿Para qué me sirve esto?

Para empezar, tenemos la función básica decibelio, o dB, que trabaja sobre magnitudes sin unidad:

dB =10 log_{10}(x)

donde x no tiene unidad.

¡Un momento, senpai! ¿De donde saco yo una magnitud sin unidad?

No te preocupes pequeño lacayo, te recuerdo algo que usas mucho y que no tiene unidades: ¡ratios y coeficientes!

Hay uno que nos representa a todos los que hemos pasado por asignaturas de modulación de señal: la ganancia de un amplificador (ratio entre la potencia de salida y la potencia de entrada)

P_{out}/P_{in}=G

Y habréis oido por ahí algo del estilo:

“… la potencia de salida es 5dbW… ”

o

” …la potencia de entrada es 5 dBm…”

¡¡¿Pero si la potencia tiene unidades?!!

Yep, pero fíjate que está expresado en dBW o dbm.

:thinking_face:

No te preocupes, ahora te lo explico todo:

La explicación es que si tenemos una potencia P y la dividimos por 1 W, tenemos una magnitud sin unidad que expresa el valor de P en relación a 1 W de potencia. Voilá!

Por ejemplo:

P = 2500mW,  \frac{P}{1W} = 2.5

significando esto que P es 2.5 más grande que 1 W.

Ya que P no tiene unidades, podemos expresar este valor en decibelios!

P(dBW) =  10log_{10}(\frac{P}{1W})

P(dBm) = 10log_{10}(\frac{P}{0.001W})

¡ejemplos!

P = 100 W = +20 dBW = +50dbm

P = 1 mW = -30dBW = 0 dBm

Vamos a hablar de los valores clásicos de dB.

Empezando por 10 log_{10} (10) = 10 dB, podemos ver que algo que dé 10 de ratio de ganancia va a dar 10 dBs.

¿Entonces, si hay 20dBs hay 20 de ratio de ganancia?

¡Incorrecto! Recuerda los palos que te metieron en Cálculo 1 con los logaritmos:

10 log_{10}[10^{n}] = n 10 log_{10}[10] = 10n

Teniendo en cuenta que G = 10^{n} \leftrightarrow G(dB) = 10n

En nuestro caso, G = 100 = 10^{2} (n=2), por lo que con 20dB,  ¡indicamos un ratio de ganancia de 100 en vez de 20! ¿Recuerdas cuando te dije que era una equivalencia no lineal? Aquí tienes por qué.

Te dejo aquí debajo una tabla con los valores de dBs más populares para saberse:

(también conviene saber que 10log_{10}[1] = 0dB, 10log_{10}[0] = -\infty dB)

Como ya os estoy adelantando en la imagen, vamos a mirar cómo operar con estos decibelios:

10log_{10}[x*y] = 10log_{10}[x]+10log_{10}[y] y 10log_{10}[x/y] = 10log_{10}[x]- 10log_{10}[y]

Por lo tanto, P_{out} = G*P_{in} se escribe en dBs tal que:

P_{out}/1mW =G*P_{in}/1mW \rightarrow \\ 10log_{10}[P_{out}/1mW ]=10log_{10}[G*P_{in}/1mW] \rightarrow \\10log_{10}[P_{out}/1mW ]=10log_{10}[G]+10log_{10}[P_{in}/1mW]

Por lo tanto,

P_{out}(dBm) = G(dB) + P_{out}(dBm)

De la misma manera se puede demostrar que:

P_{out}(dBW) = G(dB) + P_{out}(dBW)

Esto no se debe confundir con esto:

10 dBm + 6dBm \neq 16 dBm

Los dB se pueden “sumar” entre sí, pero ¡no puedes sumar 2 magnitudes convertidas a logaritmo en el dominio logarítmico! (técnicamente sí, pero no tiene ningún sentido matemático, no es la solución que esperas de manera intuitiva)

Esto es porque 10 log_{10} [x+y] \neq 10 log_{10}[x] + 10 log_{10}[y] = 10 log_{10} [x*y]

Para hacer el cambio, hay que volver a W y después regresar al dominio logarímico:

P_{1} = 10 dBm = 10^10/10 mW = 10 mW \, \\y \, P_{2} = 6 dBm = 10^6/10 mW =  4mW \rightarrow \\ P_{T} = P_{1} + P_{2} = 4mW + 10mW = 14mW \rightarrow \\ P_{T}(dBm) = 10 log_{10} (\frac{14mW}{1mW}) = 11.46 dBm \neq 16 dBm

Ejemplo práctico:

p(1) = 0.25W = 250mW \rightarrow 10 log_{10} [\frac{0.25W}{1W}] = -6,020 dBW \rightarrow 10 log_{10} [\frac{0.25W}{1mW}] = 23,979 dBm \\ G = 13dB, A = 3dB

A)

10^(13/10)*10^(-3/10) * 0.25W = 2,5W \\ 10^(13/10)*10^(-3/10) * 250mW = 2500 mW

B)

-6dBW + 13dB - 3dB \rightarrow -6dBW + 10dB = 4dBW \rightarrow 10^{4/10} = 2,5W \\ +24dBm + 13dB - 3dB \rightarrow +34 dBm \rightarrow 10^{34/10} = 2500 mW

Chuletario

Q = k log_{b}(K) \rightarrow k log_{b}(\frac{x_2}{x_1}) \rightarrow 10 log_{10}(\frac{P_1}{P_2}) \rightarrow 20 log_{10} (\frac{V_1}{V_2})

K = b^{\frac{Q}{k}} \rightarrow 10^{\frac{Q}{10}}

10dB + 100dB = 110 dB, 10 dBm +20 dBm \neq 30 dBm

¡Y hasta aquí chicos! Espero que os haya servido un poco, y si no bueno, otra vez será ^^

 

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